Перейти к контенту
Olan

Парадокс численных методов

Рекомендуемые сообщения

После майских праздников студенты массово мне понесли черновики текстов курсовых работ. Там иногда используются численные методы для вычисления (извините за тавтологию) какой-либо величины. Для потомственных гуманитариев объясню что это такое. В математике (а здесь задачи естественных наук рассматриваются исключительно как математические) существуют два типа решения: аналитический и численный. Первый предполагает точный вывод формулы, а второй - получение численного ответа. Поясню на простейшем примере. Можно вычислить площадь круга аналитически, вводя число пи, последовательно доказывая каждое действие, а можно разлиновать его на квадратики и просто посчитать их. Точность при этом будет определяться размером квадратика.

Меня уже недели три мучает парадокс численных методов. Поясню опять же на простом примере. Нам надо получить величину диагонали прямоугольника со сторонами а и b.

 

f8fbe52d1cad.jpg

По теореме Пифагора аналитически получаем ответ. Длина диагонали квадратный корень из суммы квадратов длин сторон.

Теперь попытаемся решить эту же задачу численно. Для этого представим диагональ как сумму параллельных сторонам и перпендикулярных между собой отрезков. В начале это выглядит довольно грубо

032db8955d59.jpg

Но по мере уменьшения длины отрезка все лучше и лучше

623f9e7ccbe5.jpg

Рано или поздно мы с точностью до ошибки измерения не сможем отличить одно от другого. Но ведь в модели у нас сумма вертикальных отрезков будет равна а, а горизонтальных - b. Тогда с точностью до ошибки измерений диагональ будет равна a + b. Меня могут упрекнуть в том, что в каждом маленьком треугольничке есть своя диагональ, которая вычисляется по закону Пифагора. Так оно и есть, но снижая размер ячейки мы полагаем, что наступит такой момент, когда мы не отличим в пределах ошибки друг от друга величины а, b и с. Тогда вообще мы можем говорить о том, что

 

a ≈ b ≈ c


Все говорят, что мы вместе...

Все говорят, но немногие знают, в каком

© Виктор Цой

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Мой ответ такой. Длина (спрямляемой) кривой - это предел длин вписанных ломаных при неограниченном уменьшении длины максимального звена ломаной. (Спрямляемая кривая - это кривая, имеющая непрерывно дифференцируемое параметрическое представление на конечном отрезке.)

На картинке диагональ приближается не вписанной ломаной, а неким иным способом. Поэтому вовсе нет гарантии, что длина ломаной на чертеже сойдется к длине диагонали.

Я попробую сделать Ваш пример еще ярче, уважаемый Olan. Модифицируем каждую Вашу ломаную, слегка "оттянув" ее углы (все до одного) от диагонали. Мы получим "лесенку с острыми углами". Для определенности, пусть все углы будут не 90 град, а, скажем, 60. Легко понять, что можно измельчением ступенек добиться "визуальной сходимости" этой "остроступенчатой лесенки" к диагонали прямоугольника. Но суммарная ее длина будет больше, чем а+b в Вашем примере.

Можно пойти и еще дальше. Измельчая ступеньки, мы одновременно их заостряем. Сначала 60, затем 30, затем 10, и т.д. В пределе будет 0 градусов. Можно построить такое "визуальное приближение" Вашей диагонали (то есть, последовательность остроугольных лесенок), у которого длина при неограниченном увеличении числа ступенек будет неограниченно расти и стремиться к бесконечности. В то же время сама лесенка визуально будет все более и более неотличима от диагонали прямоугольника.

P.S. Я старался быть кратким, и, возможно, что-то оказалось скомканным. Готов дать более подробные пояснения.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Ребята, спасибо, повеселили.

:happy3:


Спасающий спасется.

Ибо надлежит быть и разномыслиям между вами, дабы открылись между вами искусные. 1Кор.11:19

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Гость Геофизик

Парадокс заключается в том, что нарушающий эвклидову метрику (т.е. правило определения расстояний по Пифагору) на любом кусочке отрезка С надеется соблюсти ее на сумме этих отрезков

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Вроде как это просто ошибка выбора модели вычислений. Причём достаточно типовая, аналогичных ситуаций немало. Как раз можно/нужно студентам преподавать.


Не плыви по течению. Не плыви против течения. Плыви туда, куда тебе надо.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Вот об этом примерно и речь. Хорошо, что нам известен конечный результат и из здравого смысла мы можем выводы, к которым приходим, назвать ошибочными. А если надо посчитать что-нибудь не столь тривиальное, да еще с неизвестным результатом? Здесь можно на такое налететь. А так методом последовательных итераций на основе формальной логики я для приведенного примера берусь доказать утверждение, что длина диагонали прямоугольника равна сумме длин его сторон. Ведь предел и его свойства никто не отменял.


Все говорят, что мы вместе...

Все говорят, но немногие знают, в каком

© Виктор Цой

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Я, конечно, и близко не могу предложить толковую версию решения этого парадокса, но вспомнилась что-то похожее: задача по определению величины (расстояния, длины) морской береговой линии, - чем более точная предпринимается попытка ее измерения, тем большую величину мы получаем.

Вплоть до бесконечности.


Спасающий спасется.

Ибо надлежит быть и разномыслиям между вами, дабы открылись между вами искусные. 1Кор.11:19

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Гость Геофизик

Вот об этом примерно и речь. Хорошо, что нам известен конечный результат и из здравого смысла мы можем выводы, к которым приходим, назвать ошибочными. А если надо посчитать что-нибудь не столь тривиальное, да еще с неизвестным результатом? Здесь можно на такое налететь. А так методом последовательных итераций на основе формальной логики я для приведенного примера берусь доказать утверждение, что длина диагонали прямоугольника равна сумме длин его сторон. Ведь предел и его свойства никто не отменял.

На основе формальной логики невозможно доказать, что бесконечное количество разных ответов про длину диагонали является верным, потому что длина - это расстояние между двумя точками, измеренное вдоль прямой, их соединяющей, а эти две точки могут быть противоположными углами миллиона прямоугольников с различающимися суммами длин их катетов. Никакими "моделями вычислений" тут не пахнет - всего лишь отсутствуют точные понятия об исследуемом предмете (подумаешь "довод": глаз-де перестает видеть зазубрины, если они становятся всё мельче!)

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Никакими "моделями вычислений" тут не пахнет - всего лишь отсутствуют точные понятия об исследуемом предмете (подумаешь "довод": глаз-де перестает видеть зазубрины, если они становятся всё мельче!)

 

Вы сможете отличить 1 от 0.(9)? Я нет, а здесь тоже самое - в пределе "зазубрины" вырождаются в диагональ. В этом логическом шаге и состоит главная ошибка. Мы не можем дать количественного критерия качественному переходу. Но в тоже время совсем отрицать численные методы как неадекватные было бы неверно.


Все говорят, что мы вместе...

Все говорят, но немногие знают, в каком

© Виктор Цой

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Да причём здесь это? Это ж несовместимые вещи. Численными методами здесь надо вычислять метрику, корень. А модель приближения "на глаз"... она вообще не вычислительная. Зазубрины в пределе никогда не вырождаются в прямую, а в бесконечность зазубрин, грубо говоря. Так что правильно написанные пределы никогда не сойдутся к длине.


Не плыви по течению. Не плыви против течения. Плыви туда, куда тебе надо.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Так что правильно написанные пределы никогда не сойдутся к длине.

Мало того, как отметил топикстартер в начале, суммарная длина зазубрин не зависит от степени их измельчения.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Но я бы все-таки не пренебрегал определениями. Иначе о чем вообще речь.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Мы не можем дать количественного критерия качественному переходу. Но в тоже время совсем отрицать численные методы как неадекватные было бы неверно.

Запрещаю запрещать численные методы.

Они мне кусок хлеба дают.

Хотя бы тот же механизм численной оптимизации в мелкомягком Екселе.

Или численное вычисление определённых интегралов, которые аналитически никак.

Но к численным методам, конечно, нужен не только компутер, но и голова того, кто за компутером сидит.

Иначе могут быть очень странные странности вроде обсуждаемой.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Встречается мнение, что, мол, математика - это одно (все эти эпсилон-дельты и тому подобная дедекиндовщина), а вот численные методы - это совсем другое. Безо всяких наворотов, голая правда.

Но мнение это глубоко ошибочно. Математика едина и неделима.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Гость Геофизик

Вы сможете отличить 1 от 0.(9)?

Смогу. Напишите точное значение числа, которое Вы обозначили как 0,(9), и я Вам помогу отличить.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Вы сможете отличить 1 от 0.(9)?

Смогу. Напишите точное значение числа, которое Вы обозначили как 0,(9), и я Вам помогу отличить.

 

Помогите. А пока ответьте на вопрос: дайте точное численное значение разницы 1 - 0,(9), а на последок опровергните теорему если разница двух чисел равна 0, то эти числа равны между собой.


Все говорят, что мы вместе...

Все говорят, но немногие знают, в каком

© Виктор Цой

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Гость Геофизик

Вы сможете отличить 1 от 0.(9)?

Смогу. Напишите точное значение числа, которое Вы обозначили как 0,(9), и я Вам помогу отличить.

 

Помогите. А пока ответьте на вопрос: дайте точное численное значение разницы 1 - 0,(9), а на последок опровергните теорему если разница двух чисел равна 0, то эти числа равны между собой.

Я понимаю причину Вашей досады, уважаемый Olan, но в математике Вы всё-таки слабоваты, а "формальной логикой" это качество возместить невозможно.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Вы сможете отличить 1 от 0.(9)? Я нет, а здесь тоже самое - в пределе "зазубрины" вырождаются в диагональ.

Попробуйте подумать над тем, превратится ли цепочка в струну, как ни измельчай размер звеньев?

Это и есть ошибка самого подхода, численные методы как таковые здесь вообще ни при чём. Чтобы оправдать применение численных методов, надо сначала научиться правильно ставить задачу для этих самых численных методов. Много-много лет назад нам (студентам) об этом говорили на ВычМетодах...


Не плыви по течению. Не плыви против течения. Плыви туда, куда тебе надо.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Вы сможете отличить 1 от 0.(9)?

Смогу. Напишите точное значение числа, которое Вы обозначили как 0,(9), и я Вам помогу отличить.

 

Помогите. А пока ответьте на вопрос: дайте точное численное значение разницы 1 - 0,(9), а на последок опровергните теорему если разница двух чисел равна 0, то эти числа равны между собой.

Я понимаю причину Вашей досады, уважаемый Olan, но в математике Вы всё-таки слабоваты, а "формальной логикой" это качество возместить невозможно.

 

Интересный стиль дискуссии вырисовывается. Я говорю, что не всегда объект и наше представление о нем совпадают, привожу пример ошибочных последовательных приближений, а в ответ слышу, что ошибся и что слаб в математике. Отлично, давайте продолжим дискуссию в подобном ключе, только рано или поздно мелкими придирками друг к другу испортим отношения. Проехали. Я не об этом.

 

Вы сможете отличить 1 от 0.(9)? Я нет, а здесь тоже самое - в пределе "зазубрины" вырождаются в диагональ.

Попробуйте подумать над тем, превратится ли цепочка в струну, как ни измельчай размер звеньев?

Это и есть ошибка самого подхода, численные методы как таковые здесь вообще ни при чём. Чтобы оправдать применение численных методов, надо сначала научиться правильно ставить задачу для этих самых численных методов. Много-много лет назад нам (студентам) об этом говорили на ВычМетодах...

 

В этом мне видится основное противоречие между непрерывными и дискретными функциями. Сейчас в технике рутиной стало использование АЦП-ЦАП преобразователей, фактически переводящими одно в другое. Если мне скажут, что мои представления отличаются от реальности, то что такое реальность - идеальная аналитическая функция, ее математическая модель (непрерывная или дискретная) или наше представление об обеих?

 

Есть одна давняя философская проблема, условно мной называемая разумностью неживой природы. Если хотите, то называйте это креационизмом или агностицизмом (кому как больше нравится). На стыке физики и химии есть такой термин, как энергия активации. Отрицать существование ее глупо, поскольку практика подтверждает теоретические построения. Главным постулатом этого является причина, по которой происходят химические реакции. Молекула А на короткое время переходит в некое возбужденное состояние, а затем либо возвращается в исходное (тогда формально ничего не происходит), либо преобразуется в молекулу В, обладающую меньшей энергией. Разница в энергии между исходным и возбужденным состоянием и есть энергия активации. Предположим идеальный случай вероятности возбуждения и последующей трансформации равны 1. Возникают два вопроса: откуда возьмется первый квант энергии для возбуждения и прежде, чем возбудиться молекула "знает" конечное состояние В? Мне можно здесь долго объяснять законы распределения скоростей и энергий, я сам студентам говорю об этом. Постулатом является непрерывность функции распределения. А если процесс активации квантовый? Тогда все построения классической механики не работают, а во весь рост появляются коты Шредингера и сферические кони в вакууме.


Все говорят, что мы вместе...

Все говорят, но немногие знают, в каком

© Виктор Цой

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Гость Геофизик

Интересный стиль дискуссии вырисовывается. Я говорю, что не всегда объект и наше представление о нем совпадают, привожу пример ошибочных последовательных приближений, а в ответ слышу, что ошибся и что слаб в математике. Отлично, давайте продолжим дискуссию в подобном ключе, только рано или поздно мелкими придирками друг к другу испортим отношения….

В этом мне видится основное противоречие между непрерывными и дискретными функциями. Сейчас в технике рутиной стало использование АЦП-ЦАП преобразователей, фактически переводящими одно в другое. Если мне скажут, что мои представления отличаются от реальности, то что такое реальность - идеальная аналитическая функция, ее математическая модель (непрерывная или дискретная) или наше представление об обеих?

Уважаемый Olan, я, к примеру, не вижу оснований "портить отношения" из-за того, что в чем-то не разбираюсь. Так, даже не пытаясь вступать с Вами в обсуждение проблемы химического взаимодействия молекул, с самого начала заявляю, что являюсь в этом полным профаном. Замечу, гораздо более полным, чем Вы в вопросах, относящихся к математике. Тем не менее, возвращаясь к ним, смею заметить, что ценность своих представлений в этой сфере Вы явно завышаете. Так, дискретная форма представления числовых множеств, на которых задаются какие-либо функциональные связи, не имеет никакого отношения к предложенному Вами давеча рассмотрению "парадокса" с теоремой Пифагора. Тем меньшее отношение к поставленной Вами и обсужденной здесь задаче имеет факт квантования энергии в различных формах движения природной материи. Что же касается формулировки, натянутой Вами на состоявшийся обмен мнениями

Я говорю, что не всегда объект и наше представление о нем совпадают, привожу пример ошибочных последовательных приближений, а в ответ слышу, что ошибся и что слаб в математике,
то она вызывает у меня острое желание исправиться и заявить, послав к черту все мои собственные "представления":

"Я согласен, что представление об объекте не всегда совпадает с объектом, но несмотря на это Вы, будучи сильны в математике, конечно, не ошиблись"

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Да простят меня "высокодоговаривающиеся" стороны, я попытаюсь вставить и свои соображения в обсуждение одного из многочисленных "парадоксов", обусловленных попытками связать дискретное с непрерывным, а формальное с реальным. Начну несколько издалека. Известен парадокс: Ахиллес никогда не догонит черепаху, хотя и ходит со скоростью в 10 раз большей, чем черепаха. В самом деле. Пусть между ними 10м. Пока А.пройдёт 10м, черепаха пройдёт 1м. Пока А. пройдёт 1м, черепаха пройдёт 10см. Продолжаем и т.д. Типичное расхождение формальной (математической) логики с реалиями! Не так ли?

У уважаемого Olana такая же проблема. Весь матанализ - формальная логика. Как только эту логику начинают применять для решения РЕАЛЬНЫХ, сразу возникает масса проблем адаптации. (Вплоть до того, что площадь плоской фигуры, часть которой расположена ниже оси ОХ, может оказаться "нереально мАлой" или даже отрицательной при вычислении её определённым интегралом. Для разрешения возникшего "парадокса" ДОСТАТОЧНО "просто сдвинуть вниз ось Ох", чтобы площадь фигуры стала формальной разностью криволинейных трапеций).

По этой же причине при разложении функций в ряд Фурье для приближённых вычислений (в численных методах) НА ПРАКТИКЕ редко когда используют гармоники выше третьей. Причин много и в разных случаях причины разные. (Целая наука - Численные методы. Они и в самом деле совсем НЕ ТА математика). Спасибо, кто дочитал!

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Да простят меня "высокодоговаривающиеся" стороны, я попытаюсь вставить и свои соображения в обсуждение одного из многочисленных "парадоксов", обусловленных попытками связать дискретное с непрерывным, а формальное с реальным. Начну несколько издалека. Известен парадокс: Ахиллес никогда не догонит черепаху, хотя и ходит со скоростью в 10 раз большей, чем черепаха. В самом деле. Пусть между ними 10м. Пока А.пройдёт 10м, черепаха пройдёт 1м. Пока А. пройдёт 1м, черепаха пройдёт 10см. Продолжаем и т.д. Типичное расхождение формальной (математической) логики с реалиями! Не так ли?

У уважаемого Olana такая же проблема. Весь матанализ - формальная логика. Как только эту логику начинают применять для решения РЕАЛЬНЫХ, сразу возникает масса проблем адаптации. (Вплоть до того, что площадь плоской фигуры, часть которой расположена ниже оси ОХ, может оказаться "нереально мАлой" или даже отрицательной при вычислении её определённым интегралом. Для разрешения возникшего "парадокса" ДОСТАТОЧНО "просто сдвинуть вниз ось Ох", чтобы площадь фигуры стала формальной разностью криволинейных трапеций).

По этой же причине при разложении функций в ряд Фурье для приближённых вычислений (в численных методах) НА ПРАКТИКЕ редко когда используют гармоники выше третьей. Причин много и в разных случаях причины разные. (Целая наука - Численные методы. Они и в самом деле совсем НЕ ТА математика). Спасибо, кто дочитал!

Насчет Ахиллеса разгадка такая. Время достижения черепахи в каждый очередной раз уменьшается. Суммарное время (за бесконечное число операций) оказывается конечным. Если скорость черепахи v, а Ахиллес вдесятеро быстрее черепахи (то есть, у него 10v), то время догона черепахи 10/10v+1/10v+1/100v+...=10/9v. За это время Ахиллес преодолеет 10v * 10/9v=11,11111..... метра.

Никакого парадокса нет.

P.S. Именно таким, "прямым", способом я в детстве (классе в 3-м или в 4-м, помнится) пытался решить известную задачку про двух велосипедистов и муху, которая летала между ними. Я тогда как раз болел, в школу не ходил, и у меня было достаточно времени. Я исписал несколько тонких тетрадок, и не мог сообразить, что этот пошаговый процесс никогда не кончится. А просуммировать прогрессию я, разумеется, не догадался (да и не смог бы, конечно).

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Доброе утро, pyotr! Предложенная Вами РАЗГАДКА и есть то ПРАКТИЧЕСКОЕ СОГЛАШЕНИЕ, которое и уводит нас от тупика формальной логики. Не более. Точно так же уведёт от тупика "теоремы Пифагора" и обсуждаемая автором темы задача. Для этого ДОСТАТОЧНО мерить длины катетов и гипотенузы одним "метром", а выводы делать "по индукции" (объединять опытные данные".

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Доброе утро, pyotr! Предложенная Вами РАЗГАДКА и есть то ПРАКТИЧЕСКОЕ СОГЛАШЕНИЕ, которое и уводит нас от тупика формальной логики. Не более. Точно так же уведёт от тупика "теоремы Пифагора" и обсуждаемая автором темы задача. Для этого ДОСТАТОЧНО мерить длины катетов и гипотенузы одним "метром", а выводы делать "по индукции" (объединять опытные данные".

Здравствуйте, уважаемый Юлий. Очень Вам рад.

Вот моя реплика:

Ну, в таком случае, вся математика - это сочетание "ПРАКТИЧЕСКИХ СОГЛАШЕНИЙ", как Вы выразились. И даже комплексные числа с формулой Эйлера exp(i*П)= -1.

Что касается "исходной задачи" (про прямоугольник), то, уважаемый Юлий, Вы, наверное, заметили, что я стараюсь не вмешиваться в ход обсуждения. Сейчас могу лишь добавить, что история развития понятия "кривая" была довольно непростой, и та теория кривых, которая сложилась в настоящее время в Анализе, это и есть, можно сказать, именно "ПРАКТИЧЕСКОЕ СОГЛАШЕНИЕ", которое гарантирует нас от парадоксов в практических расчетах.

P.S. А так-то в кривых навалом парадоксов, хоть пруд пруди. Контур бесконечной длины (довольно простой по построению, кстати). Или кривая (без самопересечений!), проходящая через каждую точку квадрата. Да мало ли.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Простите, но на уровне ТАКОЙ высоты, который предлагаете Вы, мне полемизировать тяжело (уровень развития не позволяет - без шуток) :unknw: Я привожу только свои размышления, с которыми я сталкивался на практике общения со студентами (периферийного вуза), когда пытался осмысливать(объяснить) ситуацию сначала для себя. Поэтому я - пасс. Только я всегда настороже, когда дело касается бесконечного перехода. Там даже обычные скобки и то расставлять рискованно (например, при работе с условно сходящимися рядами или при программировании приближённого вычисления коэффициентов Фурье с помощью той же формулы Симпсона). Подробности будут просто неинтересны для присутствующих.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Простите, но на уровне ТАКОЙ высоты, который предлагаете Вы, мне полемизировать тяжело (уровень развития не позволяет - без шуток) :unknw: Я привожу только свои размышления, с которыми я сталкивался на практике общения со студентами (периферийного вуза), когда пытался осмысливать(объяснить) ситуацию сначала для себя. Поэтому я - пасс. Только я всегда настороже, когда дело касается бесконечного перехода. Там даже обычные скобки и то расставлять рискованно (например, при работе с условно сходящимися рядами или при программировании приближённого вычисления коэффициентов Фурье с помощью той же формулы Симпсона). Подробности будут просто неинтересны для присутствующих.

(Примеч. "с условно сходящимися рядами" - наверное, Вы имели в виду ряды, которые являются сходящимися, но не абсолютно.)

На самом деле те проблемы, с которыми приходится сталкиваться Вам, уважаемый Юлий, по-моему (по моим наблюдениям) являются в некотором смысле "общими" для всех, использующих математические методы в своей практике. Тут "все мы родственники", на мой взгляд.

А жуткие и замысловатые математические теоремы на самом деле раскрывают нам глаза.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Небольшое замечание. Уважаемый pyotr, суть апорий Зенона несколько иная, и предложенный Вами метод не снимает глубинного противоречия, в них содержащегося. Эта суть кратко - в отсутствии "последнего" элемента. Соответственно, рассуждения несколько иные, поглубже нужны.


Не плыви по течению. Не плыви против течения. Плыви туда, куда тебе надо.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Доброе утро!

Да, уважаемый pyotr, я имел в виду неабсолютно сходящиеся ряды.

А далее (после замедленных рассуждений) мне пришла в мозги следующая "формальная" логика.

"Парадокс Олана" разрешается ещё проще:

измерь длину гипотенузы и выложи эту длину на прямую;

на эту прямую выложи сумму катетов; ввиду явной бессмыслицы СМЕНИ МОДЕЛЬ формальной логики на теорему Пифагора.

Вы ведь согласились, что ВСЯ математика - набор соглашений, не противоречащих реальности. А если есть противоречие, то будь добр, откажись от МОДЕЛИ.

По сути дела, это соответствует "...от живого созерцания к абстрактному мышлению, а от него к практике - такова ... познания мира". Пока иного не доказано.

Устройство мозга таково, что приводит к известным бесконечным спорам типа: "А может ли господь создать камень, который сам поднять не сможет?"

Наверное, как и в численных методах (с их погрешностями "усекновения"), следует "отсекать" ВОВРЕМЯ те модели, которые противоречат смыслу(не приводят к улучшению, упрощению...). (это место требует уточнения в словах).

Интересно также построить НОВУЮ математику, основанную на вышеперечисленных "парадоксах ". :D Ой, что будет!

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Небольшое замечание. Уважаемый pyotr, суть апорий Зенона несколько иная, и предложенный Вами метод не снимает глубинного противоречия, в них содержащегося. Эта суть кратко - в отсутствии "последнего" элемента. Соответственно, рассуждения несколько иные, поглубже нужны.

Буду рад услышать Ваши более подробные пояснения, уважаемый Абзац. Честно говоря, я (с тех пор, как их узнал, уже лет сорок) всегда трактовал апории Зенона (Ахиллес не догонит черепаху, движущаяся стрела покоится и т.д.) как некие противоречия. И в случае с Ахиллесом предложил, на мой взгляд, корректный способ снятия такого противоречия. (Появляется уточняющий вопрос: что значит "не догонит"? В пределах одной микросекунды? За час? Никогда? И способ снятия противоречия показывает, что "в течение микросекунды" - да, не догонит. А "вообще" - догонит. И сказано, когда именно догонит.)

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Может я покажусь ортодоксом, но что-то в такой математике меня пугает. Скорее всего во мне сидят заповеди классического образования, одна из самых существенных и не подлежащих доказательству звучит как "математика - самая точная из естественных наук". Качество других же наук определяется степенью приложимости математики к решению поставленных задач. Подобные парадоксы и связанные с ними методы решения задач подтачивают основы этого постулата. Действительно какая разница в том, что товар в магазине стоит не 100 а 99.90 тугриков, а народ ведется на психолого-маркетинговые уловки. Действительно, есть некоторый предел, когда дальнейшее уточнение значения величины уже воспринимается на уровне шизофрении, только как количественно определить эту границу?


Все говорят, что мы вместе...

Все говорят, но немногие знают, в каком

© Виктор Цой

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

измерь длину гипотенузы и выложи эту длину на прямую;

на эту прямую выложи сумму катетов; ввиду явной бессмыслицы СМЕНИ МОДЕЛЬ формальной логики на теорему Пифагора.

Вы ведь согласились, что ВСЯ математика - набор соглашений, не противоречащих реальности. А если есть противоречие, то будь добр, откажись от МОДЕЛИ.

Попробую внести некоторые уточнения, уважаемый Юлий.

 

1) в исходной задаче про гипотенузу способ "измерить" ее (да еще и выложить на прямую) - практически недоступен.

 

2) очень часто Вы (и не только Вы) упоминаете о "формальной логике", как о некоторой самоочевидной вещи. Но если поподробнее рассмотреть этот вопрос, то он станет довольно сложным, как мне кажется. Имея в виду "формальную логику", надо, уж как минимум, определить (а) систему аксиом и (б) правила вывода. То есть, построить т.н. "формальную систему". Например, хорошо известна формальная система "исчисления высказываний". Гораздо более сложной является "формальная система первого порядка" (с кванторами существования и всеобщности, которые можно применять к переменным, но не к формулам). В частности, формальная арифметика (с аксиомами Пеано, для определенности) является формальной системой первого порядка. И, замечу, уже эта формальная система содержит формулу, которая по самому своему построению не является выводимой из аксиом (то есть, доказуемой), и невыводимой является также ее отрицание. (Это известная теорема Геделя "о существовании неразрешимого предложения"). То есть, в рамках теорий первого порядка представление о том, что либо истинно "А", либо (в противном случае) истинно "не А", является неверным. В общем, с "формальной логикой" много тонкостей.

 

3) Каков, на мой взгляд, "правильный" подход к задаче о гипотенузе. Надо (а) вспомнить определение длины спрямляемой кривой. (б) проверить, что изучаемая кривая (наша гипотенуза) - спрямляема. А она спрямляема, потому что ее параметрическое представление {x=at; y=bt; 0=<t=<1} является непрерывно дифференцируемым, и притом на конечном (раз 0=<t=<1) отрезке. (в) вычислить длину нашей кривой, согласно определению.

 

4) При вычислениях на компьютере нет возможности выполнять предельные переходы. Это так. По этой причине появляются довольно жесткие требования к "автору вычислений" (человеку). Он обязан заранее оценить величины отбрасываемых остатков. Это его прямая обязанность, если угодно. Грубо говоря, он должен ясно понимать, что именно ему компьютер вычислил. Так что возникает вот какой неожиданный парадокс: развитие компьютерных возможностей не "снимает" заботы с вычислителя (человека), а, наоборот, "налагает новые". (Но зато появляется возможность вычислять величины, ранее недоступные).

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Может я покажусь ортодоксом, но что-то в такой математике меня пугает. Скорее всего во мне сидят заповеди классического образования, одна из самых существенных и не подлежащих доказательству звучит как "математика - самая точная из естественных наук". Качество других же наук определяется степенью приложимости математики к решению поставленных задач. Подобные парадоксы и связанные с ними методы решения задач подтачивают основы этого постулата. Действительно какая разница в том, что товар в магазине стоит не 100 а 99.90 тугриков, а народ ведется на психолого-маркетинговые уловки. Действительно, есть некоторый предел, когда дальнейшее уточнение значения величины уже воспринимается на уровне шизофрении, только как количественно определить эту границу?
Вы правы, уважаемый Olan. Несущественные добавки можно (и нужно) отбрасывать. Но встречаются задачи, в которых заранее неясно, "существенна" или "несущественна" малая добавка. И это главный вопрос. Является ли она существенной в итоге, или можно ее отбросить с самого начала.

 

Поясню собственным примером от пятницы 29 мая 2015 года. Исходную задачу рассказывать не буду, это не нужно. В попытках ее решить я взялся перемножать в Excel матрицы, каждая из которых сама является произведением 6 матриц, третья слева зависит от некоторого параметра, остальные постоянны. Четвертая и пятая слева (постоянные матрицы) вычислены тем же Excel с точностью до 1Е(-18), то есть, казалось бы, "идеально". Но в процессе перемножения (произведение состоит из нескольких десятков тысяч сомножителей) эта погрешность невообразимо расползлась и вышла за все мыслимые пределы. Появились отрицательные (в моем случае - бессмысленные) величины порядка (-1)Е300 и т.д. Вот сейчас пытаюсь придумать, как обойти эту "техническую трудность", состоящую в том, что огромное количество погрешностей, каждая из которых пренебрежимо мала, привело к столь фатальному исходу.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Извините, времени на рассуждения не очень, так что ограничусь просто цитатой из вики (на самом деле литературы полно):

Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона и тем самым «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями — ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий[13][26].

 

Д. Гильберт и П. Бернайс в монографии «Основания математики» (1934) замечают по поводу апории «Ахиллес и черепаха»[27]:

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки
должна завершиться
.

По-сути это куда более сильный пример несоответствия "жизни" и математической модели, чем приведённый Оланом.

Ещё примеры есть в этом посте: http://normalru.org/...200#entry214697


Не плыви по течению. Не плыви против течения. Плыви туда, куда тебе надо.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Извините, времени на рассуждения не очень, так что ограничусь просто цитатой из вики (на самом деле литературы полно):

Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона и тем самым «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями — ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий[13][26].

 

Д. Гильберт и П. Бернайс в монографии «Основания математики» (1934) замечают по поводу апории «Ахиллес и черепаха»[27]:

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки
должна завершиться
.

По-сути это куда более сильный пример несоответствия "жизни" и математической модели, чем приведённый Оланом.

Ещё примеры есть в этом посте: http://normalru.org/...200#entry214697

Ясно. Спасибо, уважаемый Абзац.

  1. Насколько я понял для себя (из Гильберта и Бернайса, главным образом), парадокс Ахиллеса - это противоречие между потенциальной и актуальной бесконечностями.
  2. Вашу ссылку из этологии я тоже прочел.
  3. Если Вы не возражаете, то нашу с Вами дискуссию можно на этом закончить. Аргументы сторон практически ясны.

Спасибо еще раз.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

 

4) При вычислениях на компьютере нет возможности выполнять предельные переходы. Это так. По этой причине появляются довольно жесткие требования к "автору вычислений" (человеку). Он обязан заранее оценить величины отбрасываемых остатков. Это его прямая обязанность, если угодно. Грубо говоря, он должен ясно понимать, что именно ему компьютер вычислил. Так что возникает вот какой неожиданный парадокс: развитие компьютерных возможностей не "снимает" заботы с вычислителя (человека), а, наоборот, "налагает новые". (Но зато появляется возможность вычислять величины, ранее недоступные).

Со всеми высказываниями (1)-(4) я полностью согласен (как и вообще о схоластичности решения задачи типа о камне и его создателе).

А вот (4) даже сюда вынес по одной причине: попробуйте растолковать (моим) коллегам и студентам, что комп - это великолепно (позволяет многое, да). Но как только речь заведёшь об ОСТОРОЖНОСТИ (ведь налагает ответственность за ВЕРНОСТЬ результатов расчётов), так сразу получишь упрёк в "консерватизме" и начётничестве. Особенно это заметно, когда прикладники решают задачи в современных Приложениях. Я со страхом смотрю на построенные ими мосты и др. (а они=мосты и в самом деле рушатся достаточно часто. Не причина ли этого - в отсутствии надёжных сведений о ВЕРНОСТИ заложенных в Приложения алгоритмов?)

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Спасибо участникам за мысли. Какое развитие сюжета на основе такого простого захода.


Все говорят, что мы вместе...

Все говорят, но немногие знают, в каком

© Виктор Цой

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Гость Геофизик

А я только одного не понял. Рассматриваемая диагональ, конечно, принадлежит к классу спрямляемых кривых. Но какими "вписанными ломаными" можно представить ее (чтобы соответствующим предельным переходом определить ее длину), кроме как состоящими из ее собственных отрезков dC, для каждого из которых сохраняется та же проблема - отказаться от утверждения

dС = dА+dВ, предлагаемого Olan-ом (кстати сказать, сразу же становящегося верным, если С, А и В суть векторы)?

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

попробуйте растолковать (моим) коллегам и студентам, что комп - это великолепно (позволяет многое, да). Но как только речь заведёшь об ОСТОРОЖНОСТИ (ведь налагает ответственность за ВЕРНОСТЬ результатов расчётов), так сразу получишь упрёк в "консерватизме" и начётничестве. Особенно это заметно, когда прикладники решают задачи в современных Приложениях. Я со страхом смотрю на построенные ими мосты и др. (а они=мосты и в самом деле рушатся достаточно часто. Не причина ли этого - в отсутствии надёжных сведений о ВЕРНОСТИ заложенных в Приложения алгоритмов?)

Тут, наверное, надо скорее говорить об аккуратности.

Если исследователь пользуется верифицированной компьютерной программой, то он должен проверить, можно ли применять именно эту программу для его расчетов. Если он сам пишет код, то он должен как-то убедиться (доказать! себе и другим), что его код вычисляет именно то, что требуется.

 

А сам по себе компьютер не вполне точен. Продемонстрируйте это, например, с помощью серии взаимно-обратных преобразований. Вот два примера.

 

1) Возьмем матрицу 4*4. Первый столбец у нее пусть будет 1, 10, 100, 1000. Компоненты второго столбца возьмите чуть-чуть другими (например, 0, 9, 99, 999). Третий столбец: 0, 8, 98, 998. Четвертый столбец: 0, 6.999999, 97, 997. То есть, мы взяли 4 линейно независимых вектора, которые "почти линейно зависимы" (линейная зависимость наступила бы, если вместо 6.999999 записать 7). Вычислим обратную матрицу для построенной. А затем обратную от построенной обратной. Идеально Вы должны получить исходную матрицу. Но матрица, которая получится в действительности, будет заметно отличаться от исходной. Причина - погрешности вычислений самого компьютера.

 

2) (этот пример я придумал лет 20 назад и очень его люблю). Возьмите любое число и наберите его на компьютере. Любое вещественное число. Абсолютно любое. Затем вычислите от него косинус. Затем от полученного косинуса вычислите косинус. Затем от полученного косинуса вычислите косинус, и т.д. Примерно через 20-30 операций вы получите число 0,739085118

независимо от того, какое число Вы набрали вначале.

(Примечание: Можете задать (пока еще не относящийся к сути дела) вопрос своим коллегам: что это за число? Ответ - это решение уравнения х=соsx (с той точностью, на которую способен Ваш компьютер)).

А теперь идем по теме дальше. Число, полученное в конце, это корректный аргумент функции arccos, обратной к сужению косинуса на (0, П). Но сможете ли Вы, применяя arccos к этому числу достаточное число раз (то есть, совершая обратную операцию), получить в итоге Ваше исходное число? Ясно, что нет. И даже число, отличающееся от Вашего на целое число периодов, Вы тоже не получите.

А вот если бы компьютер был идеально точен, то, во-первых, Вы бы не получили (никогда!) ту самую константу, которая выписана выше, а, во-вторых, "обратным ходом" Вы смогли бы элементарно восстановить записанное Вами число с точностью до целого количества периодов (т.е. 2П * k).

 

Ну, наверное, имеются и еще какие-нибудь фокусы с компьютерами. Я привел два первых, пришедших в голову.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

А я только одного не понял. Рассматриваемая диагональ, конечно, принадлежит к классу спрямляемых кривых. Но какими "вписанными ломаными" можно представить ее (чтобы соответствующим предельным переходом определить ее длину), кроме как состоящими из ее собственных отрезков dC, для каждого из которых сохраняется та же проблема - отказаться от утверждения

dС = dА+dВ, предлагаемого Olan-ом (кстати сказать, сразу же становящегося верным, если С, А и В суть векторы)?

Тут вписанная ломаная - это сама диагональ. Увы.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Гость Геофизик

Тут вписанная ломаная - это сама диагональ. Увы.

Дык и я про то ж.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Простой мысленный эксперимент: Вы уменьшаете размер "ступеньки", а "я" синхронно "лечу" за Вами с лупой, так что у меня перед глазами картина... не меняется.

Печаль, на мой взгляд, в том, что прозвучало слово "парадокс" там, где никакого парадокса нет вообще, а есть банальная ошибка. Но есть и парадоксы, только - другие.

Сложность численных методов в их междисциплинарности, надо и там и там обладать достаточным уровнем, чтобы успешно пользоваться.

Страсть как во студенчестве не любил, скажем так, "метрологию" - скукота и занудство. Но никуда не делся, пришлось таки разбираться хотя бы в пределах своих направлений, когда дело до практики дошло. А то ведь оно и правда, "мосты - падают".

Кстати, зная аналитическую формулу для "гипотенузы" - Вы каким способом вычисляете конкретное значение? ;)


Не плыви по течению. Не плыви против течения. Плыви туда, куда тебе надо.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Кстати, зная аналитическую формулу для "гипотенузы" - Вы каким способом вычисляете конкретное значение? ;)

Полагаю, этот вопрос обращён ко мне. И отвечаю (как на духУ): никогда не задумывался - всегда по Пифагору.

До "высших" материй как-то не доходило в момент решения конкретной задачи.

Но вот по ходу всплыло пояснение, почему задачу линейной оптимизации БЕССМЫСЛЕННО решать известными методами дифференциального исчисления функций нескольких аргументов. Когда-то прочитал его и меня поразила простота объяснения: потому что система необходимых условий существования локального экстремума не имеет решения. И вот тогда пришлось искать иные пути решения задачи (линейное программирование). За не совсем корректную формулировку задачи да простят меня серьёзные профессионалы. :rolleyes:

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Но вот по ходу всплыло пояснение, почему задачу линейной оптимизации БЕССМЫСЛЕННО решать известными методами дифференциального исчисления функций нескольких аргументов. Когда-то прочитал его и меня поразила простота объяснения: потому что система необходимых условий существования локального экстремума не имеет решения.

Я бы уточнил. Если, конечно, я правильно понял, что речь идёт о задаче оптимизации, в которой целевая функция линейна.

Решение есть, но при отсутствии ограничений оно находится в бесконечности.

Посему подобные задачи имеют смысл только при наличии ограничений.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Дык на этом почти вся физика построена. Там задача имеет решение при некоторых граничных условиях. А уж исследователь решает какие граничные условия ставить, т. е. другими словами чем можно, а чем нельзя пренебречь при получении ответа.


Все говорят, что мы вместе...

Все говорят, но немногие знают, в каком

© Виктор Цой

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Но вот по ходу всплыло пояснение, почему задачу линейной оптимизации БЕССМЫСЛЕННО решать известными методами дифференциального исчисления функций нескольких аргументов. Когда-то прочитал его и меня поразила простота объяснения: потому что система необходимых условий существования локального экстремума не имеет решения.

Я бы уточнил. Если, конечно, я правильно понял, что речь идёт о задаче оптимизации, в которой целевая функция линейна.

Решение есть, но при отсутствии ограничений оно находится в бесконечности.

Посему подобные задачи имеют смысл только при наличии ограничений.

И тогда уж добавлю, что у линейной функции нет т.н. "критических точек" (точек, в которых дифференциал либо нуль (нулевой вектор), либо не существует).

И еще. Когда (лет, кажется, 12 назад) довелось помогать своей милой женушке в написании диплома, пришлось разбираться с (не знакомым мне до той поры) симплекс-методом (Данцига). Как оказалось, симплекс метод (я утверждаю) - это всего-навсего прямое следствие теоремы о базисном миноре! Не понимаю, почему об этом нигде не упоминается? Ведь от этого все становится намного проще и прозрачнее.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Я бы уточнил. Если, конечно, я правильно понял, что речь идёт о задаче оптимизации, в которой целевая функция линейна.

Решение есть, но при отсутствии ограничений оно находится в бесконечности.

Посему подобные задачи имеют смысл только при наличии ограничений.

И тогда уж добавлю, что у линейной функции нет т.н. "критических точек" (точек, в которых дифференциал либо нуль (нулевой вектор), либо не существует).

И еще. Когда (лет, кажется, 12 назад) довелось помогать своей милой женушке в написании диплома, пришлось разбираться с (не знакомым мне до той поры) симплекс-методом (Данцига). Как оказалось, симплекс метод (я утверждаю) - это всего-навсего прямое следствие теоремы о базисном миноре! Не понимаю, почему об этом нигде не упоминается? Ведь от этого все становится намного проще и прозрачнее.

Эт я уже всё прочно забыл.

Посему проиллюстрирую на простом трёхмерном примере.

В этом случае система ограничений (тоже линейных в симплекс-методе) образует многогранник.

Дык, симплекс-метод отыскивает вершину оного многогранника, в которую упадёт шарик бесконечно малого размера.

Поделиться этим сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Присоединиться к обсуждению

Вы можете ответить сейчас, а зарегистрироваться позже. Если у вас уже есть аккаунт, войдите, чтобы ответить от своего имени.

Гость
Ответить в этой теме...

×   Вы вставили отформатированный текст.   Удалить форматирование

  Допустимо не более 75 смайлов.

×   Ваша ссылка была автоматически заменена на медиа-контент.   Отображать как ссылку

×   Ваши публикации восстановлены.   Очистить редактор

×   Вы не можете вставить изображения напрямую. Загрузите или вставьте изображения по ссылке.

Зарузка...

×
×
  • Создать...