На кой нам образование?

[nonic 43]

Alex

 

Простите nonic, а Вы никогда не видели рулетки с различными единицами измерения. Ну на одной сторонке сантимеьтры, а на другой сторонке дюймы. И если ученик не будет знать, что равенство необходимо измерять однойсистемой измерения(одной линейкой). То что он может намерить?

Равенство отрезков существует независимо от ваших измерений. Вот, кажется мне, что вы по тому учебнику и учились, оттого и нельзя его в руки ученикам давать.

 

А при том, что я разными линейками мерял.

Вы полагаете, если бы вы меряли не двумя линейками, а одной веревкой, результат был бы тем же? Можно ли сказать, что два отрезка равны, поскольку измерены одной веревкой?

 

А откедова Вы будете знать, что они равны?

Либо по построению, либо придется воспользоваться той самой геометрией.

 

Вы же не будете линейкой измерять высоту телеграфного столба? Найдете точку, с которой верхушка его будет видна под углом 45 градусов, и измерите расстояние от точки этой до того столба. Можно и в попугаях, линейка для этого процесса не является необходимым инструментом.

 

Как я слышал, саму линейку измеряют эталоном, который в свою очередь поверяется там какими то длинами волны чего то точно не помню.

Угу, линейку измеряют другой линейкой. Эта "одна линейка" растет к тому же из нашей безграмотной технологии, когда на разных линейках сантиметры на миллиметр убегали, поневоле "одну линейку" пришлось в аксиому вводить.

[nonic 43]

Ирэн

Отрезки равны, если равны их длины.

Угу, а углы равны потому, что равны их углы... Давайте уж закончим с этими отрезками. Они равны, потому что равны, равенство их доказывается, а не измеряется. Баста!

[Ирэн 9 999]

Они равны, потому что равны

nonic, вы не поняли. Специально упомянула вектора, чтобы показать принципиальную разницу, которую и должен понять ребенок. Если речь идет о векторах, то равенства длин уже будет не достаточно. Отрезки равны именно по длине, остальные факторы не имеют значения, но это не всегда так.

Вот отрезки можно складывать и вычитать при необходимости, оперируя только длиной, с векторами подобные операции уже совершенно иные.

[Александра 14]

Они равны, потому что равны

nonic, вы не поняли. Специально упомянула вектора, чтобы показать принципиальную разницу, которую и должен понять ребенок. Если речь идет о векторах, то равенства длин уже будет не достаточно. Отрезки равны именно по длине, остальные факторы не имеют значения, но это не всегда так.

Вот отрезки можно складывать и вычитать при необходимости, оперируя только длиной, с векторами подобные операции уже совершенно иные.

Ирэн, дорогая, даайте считать, что Вы этого не писали? :Z

[nonic 43]

Бог ты мой? Ну какие векторы в геометрии? Равенство не длин - отрезков! Так же, как равенство углов, площадей, треугольников, окружностей, вычисление их параметров по иным параметрам или части параметров - это именно то, чем занимается геометрия.

 

Нет принципиальной разницы в длине разнонаправленных (находящихся под разными углами друг к другу) равных отрезков. Вот это ребенок и должен понять об отрезках.

 

И давайте прекратим этот бессмысленный спор, иначе мне придется еще и по геометрии лекции читать. Фсе!

[Ирэн 9 999]

Александра, что не так опять то? Писала именно вот это. Ребенку нужно именно объяснить в чем состоит равенство отрезков. Наткнулась вот на возможное непонимание теоремы равенства треугольников по трем сторонам. Ребенок видит два однаковых треугольника, которые по разному расположены и с его точки зрения они не равны потому. Вероятно правильнее было бы сказать, что отрезки сравниваются путем наложения друг на друга, но это технически невозможно и ввести здесь инструмент для сравнения вполне уместно.

Бог ты мой? Ну какие векторы в геометрии? Равенство не длин - отрезков! Так же, как равенство углов, площадей, треугольников, окружностей, вычисление их параметров по иным параметрам или части параметров - это именно то, чем занимается геометрия.

А с каких это пор у нас геометрия принципиально противоречит математике в целом? Для решения одной задачи вы пользуетесь понятием отрезок, для другой вектор, в зависимости от удобства, а не принадлежности к тому или иному разделу математики. Насколько я помню мы изучали вектора именно в разделе геометрии. Не в алгебре точно. :Z

Геометрия (греч. geometria, от ge - Земля и metreo - мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, который исследует простейшие геометрические объекты средствами элементарной алгебры на основе метода координат. Создание аналитической геометрии обычно приписывают Р.Декарту, изложившему ее основы в последней главе своего трактата Рассуждение о методе, озаглавленной Геометрия (1637). Однако сам метод был известен П.Ферма еще в 1629, о чем свидетельствует его переписка. Аналитическая геометрия стала неоценимым подспорьем для математического анализа, изобретенного вскоре Ньютоном (1665-1666) и Лейбницем (1675-1676).

И давайте прекратим этот бессмысленный спор, иначе мне придется еще и по геометрии лекции читать. Фсе!

nonic, спасибушки - не надо. Мне их уже читали, к преподавателям претензий не имею. :Z

[Александра 14]

Ирэн Вот специально нашла.

Аксиомы геометрии Евклида

 

 

 

Аксиома принадлежности. Аксиома порядка.

 

Аксиома равенства отрезков и углов.

 

Аксиома параллельных прямых.

 

Аксиома непрерывности (Архимеда).

 

 

 

 

 

Как мы уже отмечали выше, существует набор аксиом свойств, которые рассматриваются в геометрии как основные и принимаются без доказательства. Теперь, после введения некоторых основных понятий и определений, мы можем рассматривать следующий достаточный набор аксиом, обычно используемых в планиметрии.

 

 

 

Аксиома принадлежности. Через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну.

 

 

 

Аксиома порядка.  Среди любых трёх точек, лежащих на прямой, есть не более одной точки, лежащей между двух других.

 

 

 

Аксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов. Если два отрезка (угла) конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собой.

 

 

 

Аксиома параллельных прямых. Через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну.

 

 

 

Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда).  Для любых двух отрезков  AB  и CD  существует конечный набор точек  A1  , A2  ,, An , лежащих на прямой AB, таких, что отрезки  AA1 , A1A2 ,, An - 1An  конгруэнтны отрезку

 

CD, a точка B лежит между A и An .

 

 

 

Следует подчеркнуть, что замена одной из этих аксиом на другую, превращает её в теорему, уже требующую доказательства. Так, вместо аксиомы параллельных прямых можно использовать в качестве аксиомы свойство углов треугольника («сумма углов треугольника равна 180º »). Но тогда необходимо доказывать аксиому о параллельных прямых.

http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo5.htm

Это то, на чем стоит математика.

Отрезки равны, когда они могут совпадают при наложении друг на друга или третий отрезок.

Понятие равенства одно из основных понятий в математике и оно никак не связано с измерением длины отрезка линейкой или чем бы то ни было.

Длина,

числовая характеристика протяжённости линий.

[Александра 14]

Ирэн

Вероятно правильнее было бы сказать, что отрезки сравниваются путем наложения друг на друга, но это технически невозможно и ввести здесь инструмент для сравнения вполне уместно.

Почему технически невозможно объяснить понятие равенства отрезков?

Не понимаю.

Если ребенок не поймет , что такое равенство отрезков, то он никогда не поймет математику вообще.

Надо , чтобы понял. Объясните.

Да, про треугольники, расположенные по разному.

Объясните сначала, что значит равные треугольники. То же самое, что и с отрезками. Совпадают при наложении или с третьим треугольником.

А уж признаки равенства отдельно.

[Ирэн 9 999]

Александра

Отрезки равны, когда они могут совпадают при наложении друг на друга или третий отрезок.

Ирэн

Вероятно правильнее было бы сказать, что отрезки сравниваются путем наложения друг на друга, но это технически невозможно и ввести здесь инструмент для сравнения вполне уместно.

Александра, можно было не искать. Ничего нового для себя или противоречащего ранее сказанному я здесь не обнаружила, именно об этом я и говорила. За что уж вам стало так стыдно - ума не приложу. :Z

Технически невозможно наложить отрезки друг на друга, и именно по этой причине используется линейка. С ее помощью вы как бы и переносите один отрезок на другой. Понятно и наглядно вполне.

Ну ваще...

[Александра 14]

Ирэн

За что уж вам стало так стыдно - ума не приложу.

А вот за это

что отрезки сравниваются путем наложения друг на друга, но это технически невозможно и ввести здесь инструмент для сравнения вполне уместно.

Это означает полное непонимание, что такое равенство отрезков. А если Вы не понимаете этого, то и объяснить ребенку трудно.

[Ирэн 9 999]

Александра, ага. Я не понимаю. Точно. Мы уже ранее с вами выяснили, что я крайне необразована и ограничена. Куда мне до такого великого мыслителя как вы. :Z Будем продолжать?

Вы кстати как собираетесь сравнивать длины стен в квартире? Путем наложения их друг на друга? :Z

[Александра 14]

Ирэн

Технически невозможно наложить отрезки друг на друга, и именно по этой причине используется линейка

А что тут трудного? Вырезал из бумаги два отрезка и наложил друг на друга...

В деревенской школе до революции вполне хватало, чтобы объяснить ребенку...

То же самое и с треугольниками вырезал два одинаковых и наложил друг на друга, а потом можете их располагать на плоскости как угодно.

[Ирэн 9 999]

Ирэн

Технически невозможно наложить отрезки друг на друга, и именно по этой причине используется линейка

А что тут трудного? Вырезал из бумаги два отрезка и наложил друг на друга...

В деревенской школе до революции вполне хватало, чтобы объяснить ребенку...

Ну если нет линейки тады да. Проще конечно вырезать - отрезок. Делов то. :Z

Чего хватало до революции в деревенской школе? Ножниц? А линеек видимо нет. :Z

[Александра 14]

Ирэн

Вы кстати как собираетесь сравнивать длины стен в квартире? Путем наложения их друг на друга?

Длина к понятию равенства не имеет отношения. Это из разных опер.

Именно этого Вы не понимаете. И обижаться Вам не на что.

Чего хватало до революции в деревенской школе? Ножниц? А линеек видимо нет

Линейка не заменяет понимания. В деревенских школах это понимали.

[Ирэн 9 999]

Два отрезка равны, если они могут быть наложены один на другой так, чтобы они совпали.

 

Два отрезка равны, если они имеют одинаковую длину.

математика

[Ирэн 9 999]

Александра, насчет вырезания треугольников из бумаги. Именно к этому и пришлось прибегать в отчаянии от того, что эту несложную операцию ребенок не может проделать в воображении. Линейка же и служит как раз для того, чтобы наложить один отрезок на другой без помощи ножниц и заоодно измерить длину в единичных отрезках. Тем паче еще можно представить процесс вырезания треугольника, а вот вырезать отрезок это звучит сильно. Тем паче что у него нет вот площади как-то, которую можно ВЫРЕЗАТЬ.

[nonic 43]

Ирэн

Два отрезка равны, если они имеют одинаковую длину.

 

А два угла равны, если они имеют одинаковый угол. Желательно, измеренный одним транспортиром, как уже и было сказано.

 

ЗЫ. Слава Богу, что хоть без линейки длину измерять научились!

[Александра 14]

Ирэн

И что? Учебники пишут люди. Некоторые из которых не могут объяснить ребенку понятие равенство. И только.

Не понимают видимо сами. Нашу школу заканчивали, совеццкую.

Там же ясно написано

Математически верное определение

 

Мы полагаем, что отрезок может находиться в известном отношении к другому отрезку (или к самому себе), и будем обозначать это отношение словом "равен". отношение равенства должно удовлетворять следующим аксиомам. (Далее эти аксиомы приводятся по источнику в упрощённом виде. - Ред.)

Далее написано

Комментарий

 

Понятие равенства отрезков не может сводиться к наложению (движению), хоть и кажется, что отрезок -- такая же геометрическая фигура, как и все прочие. Дело в том, что само движение определяется через равенство отрезков. Равенство (или длина отрезка, если определять равенство через неё) должно регулироваться аксиомами.

Редактор [Редактор]

Видите, это только комментарий, не АКСИОМА ЕВКЛИДА, не математическое понятие, а комментарий плохого редактора данного сайта.

[Александра 14]

Ирэн

Линейка служит для того, чтобы ребенок никогда не понял, что такое математическое равенство. Из-за того, что тот, кто объясняет это ребенку сам не понимает этого .

Извините. Но мне жаль ребенка.

Ребенок поймет про треугольники и их равенство, на примере вырезанных, если Вы не будете приплетать к этому площадь, которая совершенно лишняя при объяснении понятия равенство.

Площадь, длина, угол, это совершенно никак не связано с понятием равенство. Это из другой оперы.

[nonic 43]

Видите, это только комментарий плохого редактора данного сайта.

 

Угу. 1. Отрезок - не фигура. 2. Наложение отрезков не предполагает их движения.

[Александра 14]

Видите, это только комментарий плохого редактора данного сайта.

 

Угу. 1. Отрезок - не фигура. 2. Наложение отрезков не предполагает их движения.

Да, вот такие учителя!!! Непечатное выражение.

[nonic 43]

Линейка же и служит как раз для того, чтобы наложить один отрезок на другой без помощи ножниц

А циркулем не пробовали?

[Александра 14]

nonic

А потом говрят, что математика сложная вещь!

[nonic 43]

Угу, иллюстрация к сентенции: нет у нас начальной школы.

 

ЗЫ. А потому предлагаю закончить геометрический флуд.

[Александра 14]

Угу, иллюстрация к сентенции: нет у нас начальной школы.

Меня просто ужас берет.

Я даже не предполагала, что так далеко зашло...

[nonic 43]

Дк и по всем предметам именно так. Сначала вгоняется дурь, затем изгоняется. Процесс может длиться вечно, естественно, что 10 лет на это уже не хватает.

[Ирэн 9 999]

nonic, можно и циркулем. Только в случае больших длин - это затруднительно. Потом проще сделать это линейкой, перенести один отрезок на линейку и таким образом наложить его на другой. Заодно можно измерить длину. Линейкой удобнее.

 

Ребенок поймет про треугольники и их равенство, на примере вырезанных, если Вы не будете приплетать к этому площадь,

Александра, это для вас. Чтобы было понятнее что вырезать отрезок весьма затруднительно. Прибегла к данному объяснению поскольку уж не думала, что это может быть непонятно.

Два отрезка равны, если они имеют одинаковую длину

Это аксиома. И в случае рассмотрения отрезков и операций с ними имеет значение именно их длина.

В отличие от векторов.

Впрочем спор бессмысленен по своему содержанию совершенно.

[Ирэн 9 999]

Угу, иллюстрация к сентенции: нет у нас начальной школы.

Меня просто ужас берет.

Я даже не предполагала, что так далеко зашло...

Меня честно говоря уже тоже. Думаю может и к лучшему, что рулят все же чиновники от образования и частично математики. А то от перманентной уверенности в собственной правоте, о чем бы речь не шла, можно столько дров наломать. :Z

[nonic 43]

Ирэн

Только в случае больших длин - это затруднительно

??????

А линейкой от земли до двенадцатого этажа - запросто?

 

Это не аксиома. Это - тавтология. В переводе на русский эта фраза и означает, что два отрезка равны, потому что одинаковы. Тот же случай, что и с углами, равными друг другу, поскольку они равны углами. Вырезать из бумаги полоску величиной с отрезок - та же операция, что перенесение этой величины на линейку: в любом случае вы добиваетесь одного - получаете отрезок равный первому. Просто равный.

[Александра 14]

Ирэн

Два отрезка равны, если они имеют одинаковую длину

Это аксиома

ЭТО НЕ АКСИОМА. Это бред.

Равенство основополагающее понятие в математике, а длина (площадь, угол, килограмм и прочие вещи придуманные для ИЗМЕРЕНИЯ чего-либо) не имеет значения для того, чтобы один отрезок было равен другому.

Поймите аксиомы Евклида и этого будет достаточно.

[Александра 14]

nonic

Вырезать из бумаги полоску величиной с отрезок - та же операция, что перенесение этой величины на линейку: в любом случае вы добиваетесь одного - получаете отрезок равный первому. Просто равный.

Дык ведь, как раз и не могут объяснить, что значит РАВНЫЙ. Припутывают длину, измеряемую линейкой.

А вырезанный отрезок просто покажет, что равный это когда совпадают два отрезка, просто циркуль ребенку может быть сложно, а вырезанные отрезки ребенок понимает, что вот один совпал с другим.

[Olan 2 550]

просто циркуль ребенку может быть сложно

В слчае если школьники или студенты не могут понять моих математических выкладок я абстрактные величины перевожу в рубли. Еще не разу не было чтобы не поняли. Они в рублях мне и на экзамене пытаются объяснять.

[Александра 14]

Olan

Дык, ведь надо, чтобы поняли именно как понятие, т.е абстрактное "равные", безотносительно единиц измерения. Вот же в чем проблема.

Аксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов. Если два отрезка (угла) конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собой.

Ведь любые измерение, а стало быть измерительные приборы и единицы измерений, основаны именно на понятии "равные", а не наоборот.

[Таша 510]

Прочитала, ничего не поняла.

Но если это - математика - так сложно, то зачем это в общем образовании? Оставить только в специализированных классах.

[Абзац 539]

да тут просто разные уровни абстракции смешаны. На следующих уровнях приходишь к пониманию, что в математике от отрезков остаются одни длины, а никаким совмещением равенство вообще проверить невозможно - ибо предполагается бесконечно точный наблюдатель, каких вообще не существует.

[Ирэн 9 999]

Ну так именно. Понятие конгруэнтности конечно необходимо давать. Но понятия "длина" и "отрезок" совершенно не одно и то же. Конечно равенство отрезков по равенству длин вытекает из понятия конгруэтности.

Но пользуемся на практике именно этим: "отрезки равны если равны их длины".

При решении задач именно сравнением длин и вычислениями занимается ребенок. Правда не врубаюсь о чем спор.

Сравнение двух отрезков с помощью линейки вот как раз основано на аксиоме конгруэтности, чтоб это показать можете воспользоваться палкой хоть. Поскольку таскать отрезки в пространстве - вещь затруднительная. :diabolo:

[Александра 14]

Ирэн

Понятие конгруэнтности конечно необходимо давать

Сколько я помню, Ваш вопрос был как раз о том, что невозможно объяснить ребенку что такое равество отрезков, т.е. конгруэнтность?

Вот

Ирэн Дата 27.02.2008 - 11:11

Ребенку нужно именно объяснить в чем состоит равенство отрезков.

Так как объяснить равенство отрезков( аксиому конгруэнтности)?

НЕ про длину по линейке , а именно само понятие "равные отрезки"?

Ведь это основа длины и её измерения.

[Ирэн 9 999]

Я не видела с чего начался спор. Отрезки даются примерно лет в 8-9 думаю, Евклида просто придется излагать более доступным языком. С абстракцией также у всех по разному. Про равенство отрезков по длине ребенок просто должен знать, именно этим следствием он будет впоследствии пользоваться.

 

НЕ про длину по линейке , а именно само понятие "равные отрезки"?

Именно и про длину по линейке тоже. Это основное свойство с которым ребенок будет иметь дело.

Серьезно просто не вижу здесь никакой проблемы.

Если мы например перейдем к понятию производных, то там уже вообще мало кто может понять формулы так же как конгруэтность, приходится пользоваться выводами.

[Александра 14]

Ирэн

Про равенство отрезков по длине

Да, не равенство ПО ДЛИНЕ, а равенство отрезков, т.е. конгруэнтность!

Длина это количественная характеристика отрезков. А мы можем признать отрезки равными, НЕ ЗНАЯ ДЛИНЫ, НЕ ИЗМЕРЯЯ ДЛИНЫ.

[Ирэн 9 999]

Александра, можем не зная. Я разве же спорю? Но как только вы выясните что они равны, тем самым признаете что равны и их длины. А можете сравнить их длины и выяснить таким образом, что они равны, то есть конгруэнтны. Вот понятие обратной теоремы знакомо? Здесь примерно тоже самое. В чем проблема то?

[Александра 14]

Ирэн

Но как только вы выясните что они равны, тем самым признаете что равны и их длины.

А длина нам зачем? Зачем нам лишняя сущность? Детям мозги путать, чтобы они не понимали, что это разные понятия?

Для чего привлекать длину-то?

А можете сравнить их длины и выяснить таким образом, что они равны, то есть конгруэнтны

Да длины не конгруентны, длины измеряемы, и измеряются в еденицах длины. Это разные сущности.

Зачем их путать? Вот , что я не понимаю.

Это же не позволяет ребенку понять существо геометрии, не позволяет ему понять математику вообще. Лишает его абстрактого мышления, так необходимого для будущего.

[Alex 0]

Alex

 

...Равенство отрезков существует независимо от ваших измерений. Вот, кажется мне, что вы по тому учебнику и учились, оттого и нельзя его в руки ученикам давать.

 

 

 

 

Совершенно с Вами согласен. Вот только когда вы это измерите в одной системе счиления, тогда и узнаете это.А когда уважаемый nonic Вам кажется креститесь, помогант.

Вы полагаете, если бы вы меряли не двумя линейками, а одной веревкой, результат был бы тем же? Можно ли сказать, что два отрезка равны, поскольку измерены одной веревкой?

Не веревкой а рулеткой.Результат не был тем же оба швеллера былиб равны.

Либо по построению, либо придется воспользоваться той самой геометрией.

И это каким образом? Ну допустим, если один отрезок находится во владивостоке, а другой в берлине. Стройте.

Вы же не будете линейкой измерять высоту телеграфного столба? Найдете точку, с которой верхушка его будет видна под углом 45 градусов, и измерите расстояние от точки этой до того столба. Можно и в попугаях, линейка для этого процесса не является необходимым инструментом.

Ну и чем Вы будете мерить расстояние от точки до столба? В чем у Вас будет измеорена высота? в Попугаях? Есть такая ситема измерения?

Эта "одна линейка" растет к тому же из нашей безграмотной технологии, когда на разных линейках сантиметры на миллиметр убегали, поневоле "одну линейку" пришлось в аксиому вводить.

Ну конечно попугаечная технология, а то и саженная и локтевая они как раз от богатства ума.

[Alex 0]

чет второй раз отправил.

[Alex 0]

Угу, иллюстрация к сентенции: нет у нас начальной школы.

 

ЗЫ. А потому предлагаю закончить геометрический флуд.

Я с Вами по этому вопросу полностью согласен, вот только отвергая самые основные понятия, которые человек долже просто знать начальную школу не восстановишь.

[Абзац 539]

Класс! Мне очень нравится этот спор. В нём ясно проявляется необходимость понимания философии науки, полезность коей многие отвергают или не видят.

 

Понятия отрезок и понятие протяжённость как-то связаны? Интересно чем? И длина тут вообще есть или нет?

Чем парадигма геометрии отличается от остальной математики?

(Всё, надо молчать, а не продолжать здесь этот злостный оффтоп)

[Гость_Щаz 136]

(дразницца)Если А больше В, то В меньше А.

[Абзац 539]

Н-да, здесь, похоже, вообще ни одного естественнонаучника нет... :diabolo:

Но зато сколько внутренне и убеждённо правых собралось! :beer:

[Таша 510]

Н-да, здесь, похоже, вообще ни одного естественнонаучника нет... :diabolo:

Но зато сколько внутренне и убеждённо правых собралось! :beer:

Правильно! А других, ну которые не естественнонаучники, и слушать нечего!

[nonic 43]

(дразницца)Если А больше В, то В меньше А.

Одной линейкой измеряли?

[Александра 14]

(дразницца)Если А больше В, то В меньше А.

Вы случайно не естественнонаучник? :diabolo: